در یک دنباله حسابی، جملات اول، نهم و شصتم به ترتیب سه جمله متوالی دنباله هندسی‌اند. قدر نسبت را بیابید.
برای حل این سوال ابتدا باید دنباله حسابی و هندسی را تعریف کنیم:
فرض کنیم دنباله حسابی به صورت \( a, a+d, a+2d, \ldots \) باشد که \( d \) اختلاف دنباله حسابی است.
با توجه به سوال، جملات اول، نهم و شصتم دنباله حسابی به ترتیب به صورت زیر خواهد بود:
- جمله اول: \( a \)
- جمله نهم: \( a + 8d \)
- جمله شصتم: \( a + 59d \)
این جملات، سه جمله متوالی یک دنباله هندسی‌اند. بنابراین باید شرایط دنباله هندسی را اعمال کنیم:
در یک دنباله هندسی، نسبت هر دو جمله متوالی ثابت است. بنابراین داریم:
\[
\frac{a + 8d}{a} = \frac{a + 59d}{a + 8d}
\]
این معادله را حل می‌کنیم.
ضرب طرفین معادله اول:
\[
(a + 8d)^2 = a(a + 59d)
\]
گسترش هر دو طرف:
\[
a^2 + 16ad + 64d^2 = a^2 + 59ad
\]
حذف \( a^2 \) و ساده‌سازی:
\[
16ad + 64d^2 = 59ad
\]
انتقال و فاکتورگیری:
\[
43ad = 64d^2
\]
فرض بتا صفر نبودن \( d \):
\[
43a = 64d
\]
بنابراین:
\[
d = \frac{43}{64}a
\]
حال برای محاسبه قدر نسبت هندسی \( r = \frac{a + 8d}{a} \) قرار می‌دهیم:
\[
r = \frac{a + 8(\frac{43}{64}a)}{a}
\]
\[
r = 1 + \frac{344}{64}
\]
\[
r = \frac{408}{64}
\]
\[
r = \frac{51}{8}
\]
بنابراین، قدر نسبت دنباله هندسی \( \frac{51}{8} \) است.
